3.2. Математическое моделирование

3.2. Математическое моделирование

Математическая модель представляет собой запись на некотором математическом языке существенных характеристик структуры, состава или функционирования моделируемой системы.

Упрощенно говоря, математическая модель есть выражение зависимости между ключевыми параметрами процессов в объекте-оригинале посредством математических выражений - уравнений, неравенств. Исследование математической модели предполагает решение систем уравнений, неравенств при принятых предположениях о тех или иных значениях параметров модели. Эти параметры могут характеризовать как внутреннее состояние моделируемой системы, так и внешние воздействия или окружающие условия. Важным является то, что все элементы модели могут быть интерпретированы в терминах моделируемой системы. Иначе говоря, каждый символ модели есть некоторый параметр реального процесса или системы.

Распространение математических моделей связано, главным образом, со следующим:

- математическая модель лаконична и абстрактна, позволяет избавиться от второстепенных особенностей предметной области и перейти к математическим конструкциям, общим для разных областей и задач;

- для анализа и исследования математических моделей используются известные и достаточно проработанные математические методы. При этом результаты, полученные при исследовании одних систем, могут быть в значительной степени применимы для других систем, математические модели которых выражаются теми же зависимостями;

- исследование математических моделей относительно легко поддается автоматизации с помощью ЭВМ. При этом для решения прикладных задач моделирования существует множество пакетов программ (например, широко известны такие системы математического моделирования, как Mathcad, Matlab, WinMaple и др.).

Математическая модель включает в себя следующие три группы элементов:

1) внутренние параметры объекта – вектор состояния:

X = (xk| k = 1, 2, …, N);

2) характеристики внешних (по отношению к объекту) изменяемых условий – внешних воздействий:

U = (ui| i = 1, 2, …, M);

3) выходные характеристики объекта, которые нужно определить:

Y = (ys| s = 1, 2, …, R).

В общем случае математическую модель можно интерпретировать как преобразователь входных параметров в выходные.:

Y = G(U) (3.1.)

где G – закон преобразования (функция, набор функций), определить который требуется при построении модели.

Иначе говоря, модель есть математическая запись, позволяющая определить реакции моделируемого объекта на входные воздействия. Можно предположить, что реакция объекта на те или иные воздействия будет зависеть от того в каком состоянии он сам находится (например, реакция исправного автомобиля на входное воздействие вида «повернуть руль» может существенно отличаться от реакции на это же воздействие автомобиля в неисправном состоянии). Поэтому более общей будет следующая запись модели:

Y = G(U, X), (3.2.)

где выход объекта Y зависит как от вектора U, так и от внутреннего состояния системы – вектора X.

В более сложном случае входные воздействия меняются во времени, т.е. U есть функция от параметра времени t, и реакция самой системы также может зависеть от времени. Тогда вместо (3.2) можно записать более общее выражение для математической модели:

Y(t) = G(U(t), X), (3.3.)

Компонентами вектора состояния могут выступать как константы (в этом случае можно говорить, что объект находится в одном состоянии на протяжении всего промежутка времени), так и переменные. Во втором случае можно предположить, что состояние объекта меняется во времени под действием каких то внешних возмущений, т.е.

X(t) = F(U(t)).

Учитывая всю предысторию, можно записать, что текущее состояние зависит от того состояния X(t0), в котором объект находился в начальный момент времени t0 и от той совокупности воздействий U (t0, t), которые наблюдались на интервале от t0 до t:

X(t) = F [X(t0), U (t0, t)]. (3.4.)

Учитывая сказанное, вместо (3.3) можно использовать следующие общие выражения:

Y(t) = G(U(t)) – (3.5)

- для случая, когда состояние объекта единственно и не меняется во времени;

Y(t) = G(U(t), X(t)), X(t) = F(U(t)) (3.6)

или, полагая справедливым (3.4), -



Y(t) = G [X(t0), U (t0, t)] (3.7)

- для случая, когда состояние объекта меняется во времени под действием внешних воздействий.

На рис.3.3 показана обобщенная схема процесса математического моделирования, которая является детализацией общей схемы моделирования на рис.3.1. Рассмотрим основные этапы. От поставленной задачи и целей исследования будет зависеть вся дальнейшая работа. На этом этапе выполняется системный анализ объекта исследования и постановка задачи моделирования. Главное здесь – четкая формулировка задач, принимаемых ограничений, допущений и вопросов, на которые требуется получить ответы. В соответствии с этим на следующем этапе выявляются основные понятия предметной области, элементы объекта исследования и взаимосвязи между ними, формируются предварительные суждения о виде и структуре математической модели. На данном этапе собирается и представляется с помощью различных наглядных средств информация об объекте моделирования, включая, таблицы, графики, тексты. Важным здесь является формирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
 

На следующем этапе выполняется формализация полученных сведений и представлений, выражение поставленной задачи в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.п.). Обычно сначала строится основная конструкция (тип) математической модели и изучаются возможности ее применения, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей).

Целью этапа математического анализа является выяснение свойств модели (границы применимости, непротиворечивость и т.п.), ее возможное упрощение, выбор методов решения (решение модели). Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решения в сформированной модели. Если будет доказано, что решение не существует, необходимо корректировать либо постановку задачи, либо способы ее формализации.

Для многих задач единственно возможными методами исследования являются численные методы. Следующие этапы предполагают численное исследование модели с помощью ЭВМ. Сначала подбираются исходные данные (константы и переменные модели), которые бы адекватно характеризовали как сам объект, так и внешние условия его функционирования. Далее, на этапе численного решения разрабатывается или выбирается алгоритмическое и программное обеспечение для проведения экспериментов. Подставляя исходные данные с помощью ЭВМ находят реакции модели на различные внешние воздействия. Полученные результаты численных решений подвергаются формальному и смысловому анализу. Формальный анализ предполагает проверку правильности ввода данных, работы алгоритмов и программ. Неформальный, смысловой анализ применяется для оценки практической значимости, полезности, применимости полученных результатов. Здесь же дается ответ, насколько полно достигнута поставленная цель исследования.
 

Читаь дальше:

#a href="http://www.systematy.ru/articles/33_funktsionalnyie_i_strukturnyie_matematicheskie_modeli"#3.3. Функциональные и структурные математические модели#/a#