4.3. Критерии и способы принятия решений при оценке полезности альтернатив

4.3. Критерии и способы принятия решений при оценке полезности альтернатив

В табл.4.1. для иллюстрации материала приведены численные значения четырех показателей для трех альтернатив X1, X2, X3. Для упрощения изложения материала будем полагать, что значения показателей нормированы, т.е. выражены на шкале отношений. Также положим, что для всех показателей соблюдается требование “чем больше значение показателя, тем лучше (полезнее) альтернатива”, самое лучшее значение показателя равно 1, самое плохое - нулю. Отметим, что, если для части показателей это не так, то к выполнению данного требования можно прийти, взяв вместо значения f значение (1-f ).

Используя относительную шкалы мы абстрагируемся от физического смысла показателей, избавляемся от единиц измерения и, потому, можем соединять их в некоторые комплексные критерии. Такое же удобство достигается при использовании бальной шкалы.



Таблица 4.1.

Характеристики альтернатив (для примеров вычислений)




Рассмотрим некоторые часто встречающиеся критерии выбора в ЗПР при известных характеристиках альтернатив:

1) Критерий среднего (Лапласа):

Fср(X) = fi(X) ® max,

где M – количество критериев.

В соответствии с этим критерием лучшей будет та альтернатива, средняя арифметическая сумма оценок показателей которой будет наибольшая. В табл.4.1. Fср(X1) = 0.65, Fср(X2) = 0.6, Fср(X3) = 0.6 и, значит, должна быть выбрана альтернатива X1.

2) Критерий Вальда:

Fв(X) =  {fi(X)} ® max,

где i – индекс показателя и, значит, выбор минимума выполняется среди показателей.

В соответствии с этим критерием выбирается та альтернатива, наихудший показатель которой имеет наилучшее значение по сравнению с наихудшими показателями других альтернатив (см. также критерий максимина при выборе в условиях неопределенности). В табл.4.1. Fв(X1) = 0.4, Fв(X2) = 0.3, Fв(X3) = 0.35 и по данному критерию должна быть выбрана альтернатива X1.

Критерий Вальда отражает осторожный взгляд, рассчитан на наихудшие значения и не учитывает других показателей. Более гибким является следующий критерий.



3) Критерий Гурвица (компромисса):



Fг(X) = {b  fi(X) + (1-b)  fi(X)}® max,

где b - коэффициент, значение которого выбирают в интервале от 0 до1. При b = 1 данный критерий сводится к предыдущему.

Зададим b = 0.5. Тогда для табличных значений имеем Fг(X1) = 0.6, Fг(X2) = 0.6, Fг(X3) = 0.55. Видно, что по этому критерию две альтернативы, первая и вторая, неразличимы. Для окончательного выбора необходимо привлечение дополнительной информации или сравнение с результатами выбора по другим критериям.



4) Критерий взвешенного среднего (аддитивной свертки):



Få(X) =  aifi(X) ® max,

где ai – коэффициент относительной значимости i-го показателя в интегральной оценке полезности альтернативы, каждый ai принимает значение от 0 до 1, сумма всех коэффициентов ai равна 1.

Данный способ выбора альтернативы является одним из наиболее распространенных. Выбор осуществляется по наилучшему значению комплексного показателя Få, которое представляет собой интегральную оценку полезности альтернативы.

Вернемся к примеру с двумя альтернативами Х1 и Х2 в предыдущем пункте. Пусть эксперты совместно с ЛПР определили относительную важность показателей стоимости и показателя временных затрат. Положим, что для ЛПР значительно более важным является сокращение временных затрат на выполнение мероприятия, и он согласен сократить эти затраты за счет увеличения стоимости. Тогда могут быть выбраны такие весовые коэффициенты: a1 = 0.2, a2 = 0.8 (заметим, что в сумме они дают единицу). Разница между коэффициентами покажет, насколько один из показателей важнее другого. С учетом этого имеем следующие результаты:

F(Х1) = 0.2 *f1(Х1)н + 0.8 *f1(Х1)н = 0.2 * 0.5+ 0.8 * 0.2 = 0.26,

F(Х2) = 0.2 *f1(Х2)н + 0.8 *f1(Х2)н) = 0.2 * 0.4+ 0. 8 * 0.25 = 0.28,

и по критерию минимизации затрат необходимо выбрать альтернативу Х1 (вспомним, что в случае, когда показатели были равнозначны и мы применяли среднее арифметическое, лучшей была признана альтернатива Х2).



5) Выбор по главному критерию.



Fгл(X) = f*(X) ® max,

где f*(X) – некоторый наиболее важный показатель, значение которого требуется оптимизировать при выборе альтернатив.

Выбор только по одному главному показателю оставляет без внимания другие свойства альтернатив, хотя они могут иметь весьма важное значение. Выбор только по одному показателю, бывает, делается при управлении в реальном масштабе времени при дефиците времени. Так, в транспортных системах, безусловно, важным является показатель безопасности. В реальном времени, когда имеется угроза аварии или катастрофы, для ее предотвращения оператор может использовать любые методы, которые могут оказаться крайне невыгодными по другим показателям (например, экономическим).

Практически более значимым является выбор по главному критерию при выполнении ограничений:

Fгл(X) = f*(X) ® max,

при fi(X)  fi пор. ,

где fi пор. – допустимое пороговое значение для i-го показателя.

По данному критерию выбор по одному показателю выполняется из подмножества альтернатив, оценки показателей которых не хуже, чем принятые пороги. Пусть для данных в табл.4.1. установлен единый порог для всех показателей fпор.= 0.35, а главным является показатель f1. Тогда выбор необходимо делать среди альтернатив Х1 и Х3 (альтернатива Х2 не удовлетворяет ограничению). По табличным данным имеем Fгл(X1) = 0.8; Fгл(X2) = 0.9, и лучшей по выбранному критерию будет альтернатива X2.



6) Выбор по упорядоченным по важности критериям. В этом случае показатели упорядочиваются по важности. Далее последовательно решается задача выбора по главному критерию. Сначала выбор делается из исходного множества X по наиболее важному показателю, потом из локализованного множества X1 по второму по важности показателю и т.д. Иначе говоря, в результате последовательно сужается множество альтернатив, и последнее X M должно содержать наилучшую альтернативу (в идеале только ее одну):

X X1 X2 … X M,

где М – число показателей.

Для того, чтобы на каждом шаге в результате выбора по главному критерию в множество альтернатив отбиралась не одна, а несколько альтернатив условие отбора обычно ослабляют. Например, отбираются все альтернативы X, для которых выполняется |Fгл(X*) - Fгл (X)|


7) Выбор по критерию «эффект/затраты». При этом критерии для оценки альтернатив вводятся две интегральных характеристики. Одна показывает, сколько затрат повлечет за собой выбор альтернативы, вторая - какой эффект будет получен в результате воплощения данной альтернативы в жизнь. Обозначим комплексный показатель затрат как Fзатр., показатель эффекта - Fэфф. Возможно, что эти комплексные показатели будут рассчитана на основе соответствующих частных показателей, которые будут предварительно разбиты на две группы – показателей затрат и показателей эффекта (комплексирование может быть выполнено, например, с помощью взвешенного суммирования или другим перечисленным выше способом). Тогда критерий выбора можно записать как соотношение:

F эфф-затр.(X) = Fэфф.(X) / Fэатр.(X) ® max.

Читать дальше:

#a href="http://www.systematy.ru/articles/44_optimizatsiya_vektornogo_kriteriya__pareto-optimalnyie_resheniya"#4.4. Оптимизация векторного критерия. Парето-оптимальные решения#/a#